【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学

江苏成人高考网www.jtgov.cn 发布时间: 2018年04月01日

多元函数积分学

知识结构:

【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学 

 

必备基础知识

二重积分的定义 

f(x, y)是有界闭区域D上的有界函数。将闭区域D任意分成n个小闭区域:Ds 1, Ds 2, × × × , Ds n ,其中Ds i表示第i个小区域, 也表示它的面积. 在每个Ds i上任取一点(x i, hi), 作和:

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如果当各小闭区域的直径中的最大值l趋于零时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f(x, y)在闭区域D上的二重积分, 记作【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学, 

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f(x, y)被积函数, f(x, y)ds被积表达式, ds面积元素, x, y积分变量, D积分区域, 【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学积分和. 

二重积分的几何意义

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如果f(x, y)³0, 被积函数f(x, y)可解释为曲顶柱体的在点(x, y)处的竖坐标, 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积. 如果f(x, y)是负的, 柱体就在xOy 面的下方, 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积, 但二重积分的值是负的.

二重积分的性质(二重积分与定积分有类似的性质)

性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面,即

【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学k为常数)。

性质2 函数的和(或差)的二重积分等于各个函数的二重积分的和(或差)。

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性质3 如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域,则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和。例如D分为两个闭区域D1 D2,则

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此性质表示二重积分对于积分区域具有可加性

性质4 如果在D上,fx,y)= 1,s 为D的面积,则

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此性质的几何意义很明显,因为高为1的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积。

性质5:如果在D, f (x, y)£g(x, y), 则有不等式:

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特殊地,【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学

性质6Mm分别是f(x, y)在闭区域D上的最大值和最小值, sD的面积, 则有:        

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上述不等式是对二重积分估值的不等式。

性质7(二重积分的中值定理)设函数f(x, y)在闭区域D上连续, s D的面积, 则在D上至少存在一点(x, h)使得【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学. 

积分区域的分类

1)上下结构:平面图形【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学由上下两条曲线y=f(x)与y=f(x)及左右两条直线x=ax=b所围成

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特点:

1)平面图形【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学上下是两条曲线y=f(x)和y=f(x),左右是两条直线x=ax=b

2)作穿过平面图形【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学且平行于【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学轴的有向直线,进入区域交的是y=f(x),出来区域交的是y=f(x)

例:抛物线【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学所围成的图形

解:该平面图形为上下结构:

上面是曲线:【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学

下面是曲线:【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学

左边是直线:【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学

右边是直线:【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学

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2)左右结构:平面图形【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学由左右两条曲线x=j(y)与x=j(y)及上下两条直线y=dy=c所围成。

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特点:

1)平面图形【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学左右是两条曲线x=j(y)和x=j(y),上下是两条直线y=dy=c

2)作穿过平面图形【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学且平行于【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学轴的有向直线,进入区域交的是x=j(y),出来区域交的是x=j(y)。

例:由曲线【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学和直线【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学所围成的图形

解:该平面图形为左右结构:             

左边是曲线:【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学

右边是曲线:【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学

上面是直线:【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学

下面是直线:【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学

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主要考察知识点和典型例题:

二重积分是定积分的扩展,是二元函数的积分,具有和定积分相似的定义和性质。从考试的角度看,主要是考查二重积分的计算,考查方法是直接给定一个二重积分,让我们选择合适的方法进行计算。

二重积分【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学的计算首先要确定坐标系,即:是在直角坐标系下还是在极坐标系下计算,两种情况往年都考过,所以都需要大家掌握。

1)当二重积分【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学的积分区域为圆面【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学、环面【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学、扇面等区域时,考虑用极坐标;当被积函数【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学含有【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学也要考虑极坐标。

2)其余情况一般考虑在直角坐标系下计算。

考点一:利用直角坐标计算二重积分(转化为二次积分)

1、上下结构区域:   D :  j1(x)£y£j2(x), a£x£b .

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【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学(先【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学

法则:前看端点,后作平行

2)左右结构区域:   D :  y1(y)£ x£y2(y), c£y£d

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法则:前看端点,后作平行

典型例题  计算【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学, 其中D是由直线y=1、x=2y=x所围成的闭区域. 

: 

方法一. 可把D看成是上下结构区域: 1£x£2, 1£y£x . 于是

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方法二. 也可把D看成是左右结构区域: 1£y£2, y£x£2 . 于是

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【注】:

 (1) 若积分区域既是 上下结构区域又是左右结构区域 , 则有

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为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.

(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干上下结构域或左右结构域 , 则

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考点二: 利用极坐标计算二重积分(转化为二次积分)

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若积分区域【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学可表示为:

a£q£b, j 1(q)£r£j 2(q),

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典型例题:计算【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学, 其中D是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域. 

 在极坐标系中, 闭区域D可表示为

0£r£a , 0£q £2p . 

于是  

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往年真题:计算【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学,其中【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学的公共部分。                  

解:在极坐标系中, 闭区域D可表示为

0£q £【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学0£r £ 【江苏成考】专升本数学1---多元函数积分学, 

于是

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